Через вершину квадрата ABCD проведён к его плоскости перпендикуляр DK=10см. Угол между плоскостями ABC и KBC=45градусов.Найти площадь квадрата ABCD и треугольника BCK.

По теореме о трех перпендикулярах, KC перпендикулярна BC, так как DC перпендикулярна BC. Тогда угол KCD равен углу между плоскостями ABC  и KBC и равен 45 градусам. Треугольник KDC прямоугольный, так как KD перпендикулярно DC. Тогда он также равнобедренный, KD=CD=10. Площадь квадрата равна 10*10=100, Чтобы найти площадь треугольника BCK, найдем стороны BK и CK. BD - диагональ квадрата со стороной 10, тогда BD=10sqrt(2). BK - гипотенуза прямоугольного треугольника BDK со сторонами 10 и 10sqrt(2), тогда BK=10sqrt(3). CK - гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами, равными 10, тогда CK=10sqrt(2). Так как 10^2+(10sqrt(2))^2=(10sqrt(3))^2, треугольник BCK прямоугольный, и его площадь равна половине произведения катетов - двух меньших сторон. S=10*10sqrt(2)/2=50sqrt(2).