Дан куб ABCDA1B1C1D1. 1) Постройте отрезок, являющийся пересечением грани ABB1A1 и плоскости альфа, в которой лежат прямая CC1 и точка K - середина AB. 2) Постройте сечение куба плоскостью альфа. 3) Вычислите периметр построе...

1) Нарисуем куб. Проведём диагональ AC в грани ABCD. Отметим на ней точку K, так, чтобы AK/KC=1/3. Чтобы построить эту точку, можно, например, построить середину O отрезка AC, а затем построить середину отрезка AO, это и будет точка K. 2) Строим сечение. Так как плоскость сечения перпендикулярна диагональной плоскости ACC1, то прямая EP, которая построена как перпендикуляр к диагонали AC (точки E и P - это пересечения такого перпендикуляра с рёбрами AB и AD), будет лежать в плоскости сечения (потому что плоскость сечения должна проходить через прямую EP, перпендикулярную плоскости ACC1, а прямая EP перпендикулярна плоскости, потому что она перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости: прямой AC по построению и прямой СС1, так как прямая CC1 перпендикулярна всей плоскости основания куба ABCD по свойству куба). 3) Продолжаем строить сечение. Проведём через точки E и P прямые, параллельные боковому ребру CC1. Они пересекут рёбра A1B1 и A1D1 в точках G и F. Соединим эти точки, и получим прямоугольник PEGF - искомое сечение. Это прямоугольник, потому что по построению это параллелограмм, а по свойству куба прямая EG перпендикулярна EP. 4) Площадь этого прямоугольника равна произведению EP на высоту EG=CC1=12. Найдём EP. В прямоугольном равнобедренном треугольнике ABD EP - это средняя линия (потому что она делит точкой K высоту AO в равнобедренном треугольнике ABD напополам и параллельна основанию BD, так как BD тоже перпендикулярно AC, и, слеовательно, EP делит пополам боковые рёбра AB и AD), поэтому EP=AB/2. AB находим из прямоугольного треугольника ABC по теореме Пифагора, получается AB=корень(12^2+12^2)=12*корень(2). Значит, EP=6*корень(2). И тогда площадь S=EP*EG=6*корень(2)*12=72*корень(2). Ответ: 72*корень(2).