Дан шар с центром О. На касательной к нему плоскости три точки A, B, и C расположены так, что образуют правильный тетраэдр ОABC с ребром 5√6. Найти объем шара.

В этой связке шара и правильного тетраэдра радиус шара, проведённый к точке касания поверхности сферы плоскостью, равен высоте тетраэдра. R=h. В правильном тетраэдре основанием высоты является центр окружности, описанной около основания. r=a/√3=5√6/√3=5√2. В прямоугольном тр-ке, образованном высотой тетраэдра, боковым ребром и найденным радиусом, высота равна: h=√(a²-r²), h=√((5√6)²-(5√2)²)=√(150-50)=10. Объём шара: V=4πR³/3=4000π/3≈1333.3π - это ответ.