Дан треугольник АВС, площадь которого равна 1. На медианах АК, ВL, СN треугольника АВС взяты соответственно точки Р, Q, R так, что АР/РК=1; ВQ/QL=1/2; CR/RN=5/4. Найти Spqr

Для начало, здесь нужно просто знать свойства медиан в треугольнике , особенно те ,в которых проведены все три медианы. 1.Допустим то что медианы треугольника пересекаются в одной точке,и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины 2.То что при пересечений всех трех медиан треугольник разбивается на шесть равновеликих треугольника РЕШЕНИЕ: С начало все распишу что дано  АР/РК=1; ВQ/QL=1/2; CR/RN=5/4; S(ABC)=1 ;  S(PQR)=? Обозначим:  AP=z;  PK=z ; => AK=2z BQ=x;  QL=2x; => BL=3x CR=5y; RN=4y; => CN=9y Теперь как я сказал медианы делятся в отношений 1:2 считая от вершины , тогда: BO=2BL/3; AO=2AK/3; CO=2CN/3; Нам нужно просто найти какую часть составляет треугольник  S(PQR)/S(ABC)=? По рисунку еще видно что треугольники, под одним углом. Из всех соотношений, можно найти  OQ=BO-BQ=2BL/3-BL/3 = BL/3 OP=AO-AP=2AK/3-AK/2 =AK/6 OR=CO-CR=2CN/3-5CN/9=CN/9  по определению площадь треугольника равна S=(a*b*sina)/2. так как площади треугольник  S(AOB)=S(BOC)  то площадь треугольник S(AOB)/S(ABC)=1/3 тогда найдем  площадь треугольника  S(POQ)/S(AOB)=((AK/6)*(BL)/3*sina) /((2BL/3)*(2AK/3)*sina)= 1/8 значит оно составляет от площади S(AOB)=1/8*1/3=1/24  часть так же другие S(QOR)=1/36  ; S(POR)=1/72  значит S(PQR)=1/36+1/72+1/24=1/12