Дана трапеция ABCD.    Окружность походит через точки A,B и C. и пересекает сторону AD в точке F.   BF = 6*sqrt(2)  , угол AFB  = 45 градусов. Так же известно что CD = 6.   найдите длину AD.  

Смешное условие :).√ Высота трапеции равна BF*sin(45°) = 6; поскольку это равно CD, то трапеция прямоугольная - СD перпендикулярно AD. При этом фигура ABCF - равнобедренная трапеция, симметричная относительно диаметра этой окружности, перпендикулярного основаниям AD и BC. Если провести перпендикуляр из точки B на AD - пусть это BE, то фигура EBCD - прямоугольник, который также симметричен относительно этого диаметра окружности (перпендикулярного основаниям AD и BC) - просто потому, что это перпендикуляр к BC, проходящий через его середину. Поэтому отрезки EA и FD равны между собой, и AD = EF = BF*sin(45°) = 6   Чтобы не было трудностей с "визуализацией", полезно сразу сообразить, что AD EB), провели из точки B прямую под углом в 45° к BC до пересечения с ED в точке F, на расстоянии, равном FD, от точки E отложили точку А, и через четыре точки A,B,C,F лежащие в вершинах равнобедренной трапеции, провели окружность.