Дано: m = a + 2b + 3c , n = 2a − b − c , p = 3a − 4b − 5c .Доказать: m , n , p — компланарны.

ну, вот для векторов m = a + 2b + 3c , n = 2a − b − c , p = 3a − 4b − 5c,  m - 2n + p =0; это легко проверить. То есть эти вектора линейно зависимы, чтд. Коэффициенты можно просто подобрать, а можно найти методом неопределенных коэффициентов. На самом деле, технически эта задача решается так - надо показать, что определитель 3х3 1  2  3 2 -1 -1 3 -4 -5 равен нулю. Это тоже легко проверяется 1*(5 - 4) - 2*(-10 +3) + 3*(-8 + 3) = 0; следовательно, строки определителя линейно зависимы, и поэтому вектора лежат в одной плоскости.  Объем параллелепипеда, построенного на них, как на ребрах, равен 0, это еще один метод решения - через смешанное произведение. Я его тут приводить не буду - очень долго набирать, и оно сводится к тому же определителю.