ДАЮ 34 БАЛЛА! Отрезок AF биссектриса треугольника abc точка p лежит на стороне ab так, ЧТО AP=PF. ДОКАЖИТЕ ЧТО PFIIAC, И ВЫЧИСЛИТЕ ДЛИНУ ОТРЕЗКА PF ЕСЛИ AC=6СМ И BF:FC=2:1

AP=PF⇒ΔAPF равнобедренный, ∠PAF=∠PFA⇒∠PFA=∠CAF,  а эти углы являются внутренними накрест лежащими при пересечении AC и PF прямой AF. Следовательно, выполнены условия признака параллельности прямых PF и AC. А раз эти прямые параллельны, треугольники ABC и PBF подобны (если учительница не верит Вам, сошлитесь на равенство углов BFP и BCA как соответственных при пересечении параллельных прямых PF и AC прямой BC, а также на то, что у этих треугольников угол B общий; этого достаточно для подобия треугольников).  А теперь все просто: у подобных треугольников совпадают отношения соответственных сторон: AC:PF=CB:FB=(2+1):2=3:2⇒ PF=2AC/3=4