Даю много баллов!!!!! Касательные к окружности в точках В и С пересекаются в точке А. Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник АВС, совпадает с серединой дуги ВС, расположенной внутри треугольника.

Отрезки касательных из точки вне окружности до точки касания  с ней равны.  Следовательно, треугольник АВС равнобедренный и ∠ АВС=∠АСВ.  Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине дуги, стягиваемой хордой.    Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения его биссектрис.  ВК и СМ - биссектрисы равных углов В и С соответственно.  Угол АВК равен половине угла АВС, и, следовательно, равен  четверти дуги, заключенной между  сторонами   угла АВС, поэтому ВК пересекает дугу ВС в ее середине.  Аналогично СМ пересекает дугу ВС в ее середине. Середина дуги ВС - точка пересечения биссектрис треугольника АВС и  потому является центром вписанной в ∆ АВС окружности, что и требовалось доказать.