Длина катета прямоуголного треуголника 20 см .Найти длину проекции данного катета на гипотенузу,если длина проекции другого катета на гипотенузу 42 см

Пусть мы имеем прямоугольный треугольник АВС, катет АВ = 20 см, угол В - прямой, высота из прямого угла ВД, проекция ВС на АС равна 42 см. Обозначим сторону ВС за х. Косинус угла С равен 42/х, он же равен синусу угла А. Высота ВД = √(х²-42²) = √(х²- 1764). Синус угла А равен ВД/АВ = √(х²- 1764)/20. Приравняем: √(х²- 1764)/20 = 42/х. Чтобы избавиться от корня, возведём обе части равенства в квадрат. (х²- 1764)/400 = 1764/х². Получаем биквадратное уравнение х⁴-1764х²- 705600 = 0. Делаем замену: х² = у. у²-1764у-705600 = 0. Квадратное уравнение, решаем относительно y: Ищем дискриминант: D=(-1764)^2-4*1*(-705600)=3111696-4*(-705600)=3111696-(-4*705600)=3111696-(-2822400)=3111696+2822400=5934096;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: y₁=(√5934096-(-1764))/(2*1)=(2436-(-1764))/2=(2436+1764)/2=4200/2=2100;y₂=(-√5934096-(-1764))/(2*1)=(-2436-(-1764))/2=(-2436+1764)/2=-672/2=-336 этот корень отбрасываем - х² не может быть отрицательным числом. Отсюда х = √2100 = 10√21 ≈ 45,82576 см. Теперь находим сторону АС = √(400+2100) = √2500 = 50 см. Искомая проекция стороны АВ на АС равна 50-42 = 8 см.