Длины всех ребер правильной шестиугольной призмы равны. Вычислителе длину большей диагонали призмы, если известно, что площадь боковой поверхности призмы равна 96 см2.

Площадь боковой поверхности шестиугольной призмы равна 6S, где S - площадь боковой грани. Т.о., площадь боковой грани заданной призмы равна 96/6 = 16 (см²). Т.к. все ребра призмы равны, то боковые грани призмы являются квадратами. Т.к. площадь квадрата равна 16, то длина ребра равна 4 (см). Большая диагональ правильной шестиугольной призмы - это отрезок, соединяющий диаметрально противоположные вершины, которые принадлежат разным основаниям. Обозначим вершины нижнего основания призмы ABCDEF, а соответствующие им вершины верхнего - A₁B₁C₁D₁E₁F₁. Тогда большей диагональю призмы будет, например, отрезок AD₁. Рассмотрим треугольник ADD₁. Т.к. призма правильная, то ее основание - правильный шестиугольник. AD является наибольшей диагональю, при этом длина AD равна удвоенной длине стороны шестиугольника (т.к. AD - диаметр описанной вокруг шестиугольника окружности, а радиус описанной окружности равен стороне шестиугольника). Т.к. призма правильная, то боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований, а значит, ребро DD₁ ⊥ (ABCDEF). Из этого следует, что оно перпендикулярно любому отрезку плоскости (ABCDEF), в частности - отрезку AD. Т.о., треугольник ADD₁ - прямоугольный с катетами AD и DD₁ и гипотенузой AD₁. AD = 2*4 = 8 (см) DD₁ = 4 (см) По теореме Пифагора AD₁² = AD²+DD₁² = 8²+4² = 64+16 = 80 = 16*5. AD₁ = √(16*5) = 4√5. Ответ: длина большей диагонали призмы равна 4√5