Доказать неравенство [latex] \frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2} [/latex]

[latex]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}[/latex] ----------- [latex]\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{a+c}+1+\frac{c}{a+b} +1 \geq \frac{3}{2}+3[/latex] ----------- [latex]\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{a+c} \geq \frac{9}{2}[/latex] -------------------- [latex](a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}) \geq \frac{9}{2}[/latex] ---------- [latex](\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{a+c}{2})(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}) \geq \frac{9}{2}[/latex] ----------------- [latex]((a+b)+(b+c)+(a+c)) (\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}) \geq 9[/latex] (*) учитывая неравенство между средними арифметическим и средним геометрический для трех положительных чисел [latex]A+B+C \geq 3 \sqrt[3] {ABC}[/latex] получим что [latex] ((a+b)+(a+c)+(b+c)) (\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}) \geq \\\\3\sqrt[3] {(a+b)(a+c)(b+c)}*3 \sqrt{\frac{1}{(a+b)(b+c)(a+c)}}=9[/latex] т.е. справедливость неравенства (*) тождественного исходному. Доказано