Докажите, что 5+5^2+5^3+5^4+5^5+...+5^2016 делиться на 6.

сгруппируем слагаемые с нечетной степенью в первой скобке, а с четной степенью во второй.  Затем вынесем из каждой скобки общий множитель,  получим =(5+5³+5⁵+...+5²⁰¹⁵)+(5²+5⁴+5⁶+...+5²⁰¹⁶) = 5(1+5²+5⁴+...+5²⁰¹⁴)+5²(1+5²+5⁴+...5²⁰¹⁴)=(5+25)(1+5²+5⁴+...+5²⁰¹⁴) = 30(1+5²+5⁴+...+5²⁰¹⁴) 30 делится на 6, а значит и все произведение 30(1+5²+5⁴+...+5²⁰¹⁴)  делится на 6

6 объединяет в себе признаки делимости на 2 и на 3. на 2 оно делится, так как 2016 : 2 = 1008 и на 3 оно делится, так как 2016 : 3 = 672. докажем это: нам нужно чтобы последняя степень делилась на три. Так,  [latex] 5^{5} + 5^{4} + 5^{3} + 5^{2} + 5 [/latex] на три не разделится. А вот [latex] 5^{6} + 5^{5} + 5^{4} + 5^{3} + 5^{2} +5[/latex] разделится на три.