Докажите, что для любых а≠b для функции f(x) = х^2 выполняется неравенство [latex]f\left( \frac{ a+b}{2}\right)\ \textless\frac{f( a)+f(b)}{2}[/latex]

[latex]a, b &\ (a\neq b)& \ \ \ &f(x)=x^2\\\\ \ \ \ \ \ f( \frac{a+b}{2})\ \textless \ f \frac{f(a)+f(b)}{2}[/latex] Решение (доказательство): [latex]f( \frac{a+b}{2})= (\frac{a+b}{2})^2= \frac{(a+b)^2}{4} \\\\ \frac{f(a)+f(b)}{2}= \frac{a^2+b^2}{2} [/latex]   что и требовалось доказать Нужно доказать, что [latex]\forall \ a,b\ \ (a\neq b)[/latex] [latex] \frac{(a+b)^2}{4}\ \textless \ \frac{a^2+b^2}{2} [/latex] Рассмотрим верное неравенство: [latex](a-b)^2\ \textgreater \ 0[/latex], если  [latex]a\neq b[/latex] [latex]a^2-2ab+b^2\ \textgreater \ 0\\\\ 2ab\ \textless \ a^2+b^2[/latex] Добавим к обеим частям сумму [latex]a^2+b^2[/latex] [latex]a^2+2ab+b^2\ \textless \ 2(a^2+b^2)\\\\ (a+b)^2\ \textless \ 2(a^2+b^2)\ \ \ |:4\\\\ \frac{(a+b)^2}{4}\ \textless \ \frac{a^2+b^2}{4}, \ \ \ \forall \ \ a\neq b [/latex]