Докажите, что сумма диаметров описанной и вписанной окружностей прямоугольного треугольника равна сумме его катетов.

Пусть a, b - катеты, с - гипотенуза. 1) В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен: [latex]r= \frac{a+b-c}{2}[/latex] Значит диаметр вписанной окружности равен: [latex]d=2r=2*\frac{a+b-c}{2}=a+b-c[/latex] 2) Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен: [latex]R=\frac{c}{2}[/latex] Значит диаметр описанной окружности равен: [latex]D=2R=2*\frac{c}{2}=c[/latex] 3) Сумма диаметров: [latex]D+d=c+(a+b-c)=c+a+b-c=a+b[/latex] - сумма катетов. Т.е. сумма диаметров вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника равна сумме его катетов, что и требовалось доказать.