Докажите, что в прямоугольном треугольнике медиана проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы.

Векторами можно, например. Вообще с нуля, не привлекая никакие описанные окружности и о то, что гипотенуза лежит на её диаметре.   Вводим ортонормированный базис [latex]\left\{\mathbf{i},\mathbf{j}\right\}[/latex] в вершине прямого угла с ортами, направленными по катетам. В этом базисе катеты (AB и AC) будут иметь компоненты [latex]\left(AB; 0\right)[/latex] и [latex]\left(0; AC\right)[/latex], а гипотенуза [latex]\mathbf{AB} + \mathbf{BC} = \mathbf{AC} \;\; \Rightarrow \;\; \mathbf{BC} = \mathbf{AC} - \mathbf{AB}[/latex]— компоненты [latex]\left(-AB; AC\right)[/latex].   Половина вектора [latex]\frac{1}{2}\mathbf{BC} = \mathbf{BE}[/latex], конец E которого будет точкой исследуемой медианы, принадлежащей гипотенузе, имеет компоненты [latex]\left(-\frac{AB}{2}; \frac{AC}{2}\right)[/latex]. Следовательно, медиана [latex]\mathbf{AE} = \mathbf{AB} + \mathbf{BE}[/latex] будет иметь компоненты [latex]\left(AB - \frac{AB}{2}; 0 + \frac{AC}{2}\right) = \left(\frac{AB}{2}; \frac{AC}{2}\right)[/latex].   Находим длину (норму) вектора [latex]\mathbf{AE}[/latex], которая и будет представлять длину медианы: [latex]||\mathbf{AE}|| = \sqrt{\mathbf{AE} \cdot \mathbf{AE}} = \frac{1}{2}\sqrt{AB^2 + AC^2}[/latex].   А длина (норма) вектора гипотенузы [latex]\mathbf{BC}[/latex]: [latex]||\mathbf{BC}|| = \sqrt{(-AB)^2 + AC^2}[/latex].   Следовательно, длина медианы AE в точности равна половине длины гипотенузы BC. Утверждение доказано.