Докажите что в равнобедренном треугольнике высота проведённая к основанию является медианой и биссектрисой.

Дано: ∆ ABC, AC=BC, CF — биссектриса. Доказать: CF — медиана и высота. Доказательство: Рассмотрим треугольники ACF и BCF. 1) AC=BC (по условию (как боковые стороны равнобедренного треугольника)) 2) ∠ACF=∠BCF (так как CF — биссектриса по условию). 3) сторона CF — общая. Значит, ∆ ACF=∆ BCF (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов. Таким образом, AF=BF, следовательно, CF — медиана. ∠AFC=∠BFC. А так как эти углы — смежные, значит, они прямые: ∠AFC=∠BFC=90º. Значит, CF — высота. Что и требовалось доказать.

Возьмём треугольник АВС с основанием ВС. Проведём в ней биссектрису. Назовём новую точку М. В треугольнике АВМ и треугольнике АСМ: 1. АБ=БС - треугольник АБС равнобедренный. 2. АМ - общая сторона. 3. Угол  ВАМ = углу МАС - АМ бессектриса. Значит, треугольник АВМ = треугольнику АСМ по 2 сторонам и углу между ними (1 признак равенства треугольников). Поэтому, ВМ=МС - медиана, угол АМС = углу АМВ, а они смежные и ровны, значит - высота.