Докажите , что верно при n=m+1[latex]1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)= \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} [/latex]

Проверим при n=1 [latex]2= \frac{2\cdot 3}{3} \\ 2=2[/latex]следовательно, истинно  Следует проверить что при n+1, также  будет истинно [latex]n(n+1)+(n+1)(n+2)= \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3} \\ 1\cdot2+2\cdot3+....+n(n+1)+(n+1)(n+2)= \\ = \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3} +(n+1)(n+2)=(n+1)(n+2)( \frac{n}{3} +1)= \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3} [/latex] Следовательно, исходное равенство имеет место для любого натурального n.