Докажите свойство медиан треугольника, используя векторный метод нахождения отношения длин отрезков.

Я не знаю, что это за "метод", наверно, опять в минобразе что-то придумали. Но с помощью векторов свойство медианы я бы так доказывал. Пусть есть два вектора a и b, которые полностью определяют треугольник со сторонами a и b (эти стороны "выходят" из общей вершины). Если соединить конец вектора a с серединой вектора b, то получится вектор m, соответствующий медиане m к стороне b. Точно также строится медиана n к стороне a. Очевидно, что m = b/2 - a; n = a/2 - b; Пусть точка пересечения медиан делит медиану m в пропорции k/(1 - k); а медиану n в пропорции p/(1 - p); Тогда  a + km = b + pn; так как у этих векторов совпадают начало и конец :). a + k(b/2 - a) = b + p(a/2 - b); или a(1 - k - p/2) = b(1 - p - k/2); Вот это соотношение и было нужно, из него все получается автоматически. Поскольку a и b - ненулевые и неколлинеарные вектора, то 1 - k - p/2 = 0; 1 - p - k/2 = 0; решение этой простенькой системы k = p = 2/3; То есть точка пересечения двух медиан делит их в пропорции 2/1; (Само собой, и третья медиана тоже проходит через эту же точку).