Докажите,что в компании из шести человек найдутся либо трое попарно знакомые, либо трое попарно незнакомые.

 Рассмотрим одного из этих людей. Пусть его зовут X. По принципу Дирихле из оставшихся 5 человек найдутся либо трое знакомых с X, либо трое незнакомых с X. Пусть найдутся три человека знакомых с X. Если среди этих троих какие-то двое знакомы, то они вместе с X образуют треугольник знакомых. Если же никто из этих троих не знаком между собой, то эти трое образуют треугольник незнакомых. Случай, когда X не знаком с тремя людьми, разбирается аналогично.