Довести, що в будь-якому шестидесятизначному числі, десятковий запис якого не містить нулів, можна закреслити кілька цифр так, що число, що вийшло в результаті цього, буде ділитися на 1001.

в будь-якому шістдесятизначному числі знайдеться хоча б 6 цифр, які повторюються (справді інакше, якщо це не так кожна цифра від 1 до 9 зустрічається не більше 5 разів, і загальна кількість цифр не перевищує 9*5=45, (нулі не можуть зустрічатися) що неправда так як число шістдестизначне) закреслюємо усі цифри, крім 6, які рівні між собою   позначимо через а -цифру, що повторється 6 раз у нашому числі після закреслень. Тоді це шестизначне число дорівнює 100 000а+10 000а+1 000а+100а+10а+а=111 111а=111 а *1001, один з множників, а саме 1001 ділиться на 1001, а значить і шестизначне число, утворене нами ділиться на 1001. А значить таким чином ми довели твердження задачі. Доведено