Два гравці по черзі кидають монету.Переможе той , у кого раніше з'явиться "герб". Знайти ймовірність виграшу для того, хто починає гру.

Игра устроена таким образом, что в каждом коне может выиграть только тот, кто в данный момент подбрасывает монетку, второй участник при этом принимает лишь пассивное участие в игре, выполняя роль наблюдателя. Вообще начинающий игру может выиграть в 1-ом, 3-ем, 5-ом, 7-ом, и т.д. в любом нечётном коне. А его визави (второй участник) может выиграть, соответственно только в чётных конах. Вероятность для начинающего выиграть в первом коне составляет [latex] P_1 = \frac{1}{2} . [/latex] Остаточная вероятность [latex] P'_1 = 1 - P_1 = \frac{1}{2} [/latex] останется на все остальные коны. Вероятность локального выигрыша во втором коне для визави составляет [latex] \frac{1}{2} [/latex] от остаточной вероятности, т.е. вообще составит.: [latex] P_2 = P'_1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} . [/latex] Остаточная вероятность после второго кона [latex] P'_2 = \frac{1}{2} - P_2 = \frac{1}{4} [/latex] останется на все остальные коны. Вероятность локального выигрыша в третьем коне для начинающего игру составляет [latex] \frac{1}{2} [/latex] от остаточной вероятности, т.е. вообще составит.: [latex] P_3 = P'_2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} . [/latex] Остаточная вероятность после третьего кона [latex] P'_3 = \frac{1}{4} - P_3 = \frac{1}{8} [/latex] останется на все остальные коны. Каждый раз вероятность выиграть в каком-то коне уменьшается вдвое, т.е. вероятность выиграть в N-ом коне составляет [latex] \frac{1}{2^N} . [/latex] Тогда полная вероятность выигрыша для начинающего игру составит: [latex] P_I = P_1 + P_3 + P_5 + P_7 + . . . = \frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{32} + \frac{1}{128} + . . . [/latex] А полная вероятность выигрыша для визави составит: [latex] P_{II} = P_2 + P_4 + P_6 + P_8 + . . . = \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + \frac{1}{256} + . . . [/latex] Легко видеть, что каждый член убывающей геометрической прогрессии в первом равенстве ровно в два раза больше каждого соответствующего члена убывающей геометрической прогрессии во втором равенстве, а значит, и сумма всей первой прогрессии в два раза больше сумы второй последовательности: Т.е.: [latex] P_I = 2 P_{II} [/latex] ; С другой стороны, ясно, что полная вероятность всех исходов равна единице, т.е.: [latex] P_I + P_{II} = 1 [/latex] ; [latex] 2 P_{II} + P_{II} = 1 [/latex] ; [latex] 3 P_{II} = 1 [/latex] ; [latex] P_{II} = \frac{1}{3} [/latex] ; [latex] P_I = \frac{2}{3} [/latex] ; О т в е т : вероятность выигрыша начинающего игру составляет [latex] P_I = \frac{2}{3} . [/latex]