Две окружности с центрами O и O1, радиусы которых 3 и 5, касаются внешним образом в точке C. Прямая AB касается окружности меньшего радиуса в точке A, а другой- точке B. Через точку C проведена касательная, которая пересекает п...
Две окружности с центрами O и O1, радиусы которых 3 и 5, касаются внешним образом в точке C. Прямая AB касается окружности меньшего радиуса в точке A, а другой- точке B. Через точку C проведена касательная, которая пересекает прямую AB в точке D.
а) Докажите, что вокруг четырёхугольника AOCD можно описать окружность
б) Найдите радиус этой окружности
Гость
Ответ(ы) на вопрос:
Гостьа) ∠ОАВ=∠ОСД=90°.
В четырёхугольнике АОСД ∠АОС+∠АДС=360-(∠ОАД+∠ОСД)=360-(90+90)=180°.
В четырёхугольнике АОСД суммы противолежащих углов равны, значит он вписанный.
доказано.
б) АО⊥АВ и ВО1⊥АВ, значит АО║ВО, значит ∠АОО1+∠ВО1О=180°.
АО=СО, АД=СД, значит ΔАДО=ΔСДО, значит ДО - биссектриса угла АОС.
Аналогично ДО1 - биссектриса угла ВО1С.
ДО и ДО1 биссектрисы односторонних углов, значит ∠ОДО1=90°.
В тр-ке ОО1Д ДС²=ОС·О1С=3·5=15.
В тр-ке СОД ОД=√(ОС²+ДС²)=√(9+15)=√24=2√6.
В тр-ке СОД радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.
R=ОД/2=√6 - это ответ.
Действительно, радиус описанной окружности около четырёхугольника равен радиусу описанной окружности вокруг любого из треугольников, образованных из его вершин.
Не нашли ответ?
Похожие вопросы