Двое играющих по очереди увеличивают натуральное число так, чтобы при каждом увеличении разность между новым и старым значениями числа была бы больше нуля, но меньше старого значения. Начальное значение числа равно 2. Выигравши...
Двое играющих по очереди увеличивают натуральное число так, чтобы при каждом увеличении разность между новым и старым значениями числа была бы больше нуля, но меньше старого значения. Начальное значение числа равно 2. Выигравшим считается тот, в результате хода которого получится 2012. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнёр? Найдите сумму всех выигрышных позиций (2012 мы тоже считаем выигрышной).
Ответ(ы) на вопрос:
Назовем состоянием количество очков до хода игрока. Состояние выигрышно, если приводит к выигрышу игрока, чей сейчас ход, и проигрышно иначе.
Все состояния от 1007 до 2011 с очевидностью выигрышные (до 2012 остаётся только один ход).
1006 - проигрышное (любым ходом переходим в выигрышное состояние 1007 - 2011).
Состояния 504 - 1005 - выигрышные (можно следующим ходом перевести игру в проигрышное состояние 1006).
503 - проигрышное (дальше выигрышные 504 - 1005).
252 - 502 - выигрышные (дальше в 503).
251 - проигрышное (252 - 501)
126 - 250 - выигрышные (дальше в 251).
Можно и дальше так выписывать, но можно сразу написать, что дальше проигрышные состояния 125, 62, 31, 15, 7, 3.
Дальше остаётся заметить, что выигрышные позиции (которые нужно найти по условию) - это проигрышные состояния.
Сумма выигрышных позиций = 2012 + 1006 + 503 + 251 + 125 + 62 + 31 + 15 + 7 + 3 = 4015.
Т.к. 2 - выигрышное состояние, то выигрывает первый игрок.
Не нашли ответ?
Похожие вопросы