Если /_A, /_B, /_C, и /_D - внутренние углы выпуклого четырехугольника ABCD и /_A =80 градусов, /_B =160 градусов и ctg /_C = 1/3, то ctg /_D равен?

Попробую. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусам.   В данном случае   [latex]\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^\circ[/latex]   Подставим известные значения   [latex]80^\circ+160^\circ+\angle C+\angle D=360^\circ[/latex]   Упростим это выражение   [latex]\angle C+\angle D=360^\circ-80^\circ-160^\circ[/latex]   [latex]\angle C+\angle D=120^\circ[/latex]   От обеих частей уравнения возьмем котангенс   [latex]\cot(\angle C+\angle D)=\cot(120^\circ)[/latex]   Заметим, что   [latex]\cot(120^\circ)=-\frac{1}{\sqrt{3}}[/latex].   Тогда уравнение преобразуется   [latex]\cot(\angle C+\angle D)=-\frac{1}{\sqrt{3}}[/latex]   Воспользуемся известной формулой для котангенсов   [latex]\cot(\alpha\pm\beta)=\frac{\cot\alpha\cot\beta\mp1}{\cot\beta\pm\cot\alpha}[/latex]   Тогда получим [latex]\frac{\cot\angle C\cot\angle D-1}{\cot\angle C+\cot\angle D}=-\frac{1}{\sqrt{3}}[/latex]   По условию задачи известно, что [latex]\cot\angle C=\frac{1}{3}[/latex]   Подставим в последнюю формулу   [latex]\frac{\frac{1}{3}\cot\angle D-1}{\frac{1}{3}+\cot\angle D}=-\frac{1}{\sqrt{3}}[/latex]   Умножим обе части на [latex]-\sqrt{3}[/latex]. Получаем   [latex]-\sqrt{3}\frac{\frac{1}{3}\cot\angle D-1}{\frac{1}{3}+\cot\angle D}=1[/latex]   Умножим числитель дроби в левой части на -1   [latex]\sqrt{3}\frac{1-\frac{1}{3}\cot\angle D}{\frac{1}{3}+\cot\angle D}=1[/latex]   Умножим обе части на [latex]\frac{1}{3}+\cot\angle D.[/latex]   [latex]\sqrt{3}*(1-\frac{1}{3}\cot\angle D)=\frac{1}{3}+\cot\angle D[/latex]   [latex]\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}\cot\angle D=\frac{1}{3}+\cot\angle D[/latex]   Перенесем неизвестные вправо, свободные члены влево.   [latex]\sqrt{3}-\frac{1}{3}=\cot\angle D+\frac{\sqrt{3}}{3}\cot\angle D[/latex]   Умножим обе части на 3. [latex]3\sqrt{3}-1=3\cot\angle D+\sqrt{3}\cot\angle D[/latex]   Или   [latex]3\cot\angle D+\sqrt{3}\cot\angle D=3\sqrt{3}-1[/latex]   [latex]\cot\angle D*(3+\sqrt{3})=3\sqrt{3}-1[/latex]   [latex]\cot\angle D=\frac{3\sqrt{3}-1}{3+\sqrt{3}}[/latex]   Если избавиться от иррациональности в знаменателе, то можно получить следующее   [latex]\frac{3\sqrt{3}-1}{3+\sqrt{3}}=\frac{(3\sqrt{3}-1)*(3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})*(3-\sqrt{3})}=[/latex]   [latex]\frac{9\sqrt{3}-3-9+\sqrt{3}}{3^2-(\sqrt{3})^2}=\frac{10\sqrt{3}-12}{9-3}=[/latex]   [latex]=\frac{10\sqrt{3}-12}{6}[/latex]   Ответ:  [latex]\cot\angle D=\frac{10\sqrt{3}-12}{6}[/latex]