Фигура ограничена осью Ох, графиком функции y= √х и прямой х = 27. Найдите стороны прямоугольника, вписанного в эту фигуру, если он имеет наибольшую площадь.

Вершина лежит на графике sqrt(x), тогда площадь (27-x)*sqrt(x) f(x)=  (27-x)*sqrt(x) f'(x)=-sqrt(x)+ (27-x)*1/2*sqrt(x)/x=sqrt(x) ((27-x)*1/(2*x)-1)  sqrt(x) ((27-x)*1/(2*x)-1) =0 sqrt(x)=0 x=0   ((27-x)*1/(2*x)-1) =0 ((27-x) -2*x)/(2*x)=0 27-3*x=0 x=9   f(0)=0 f(9)=3*18=54 стороны 18 и 3     

(a;0), (a;корень(a)); (27; a); (27; корень(a)) - вершины прямоугольника площадь прямоугольника равна произведению ширины на длину, поэтому площадь искомого прямоугольника f(a)=(27-a)*корень(а), 0<а<27 Ищем производную f'(a)=-1*корень(а)+(27-a)/(2корень(а))=(-а+27-а)/(2корень(а))=(13.5-а)/(корень(а)) Ищем критические точки f'(a)=0 (13.5-а)/(корень(а))=0 a=13.5 при 00 при 13.5