Гипотенуза прямоугольно треугольника равна 13 см. Если один из его катетов увеличить на 4 см, то гипотенуза увеличится на 2 см. Найдите катеты треугольника.

Пусть х - один из катетов, тогда y - второй катет. Используя теорему Пифагора, составим систему уравнений: 13=√(х²+у²) 13+2=√((х+4)²+у²)   13=√(х²+у²) 15=√((х+4)²+у²) Возуведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня: 169=х²+у² 225=(х+4)²+у²   169=х²+у² 225=х²+8х+16+у²   Из первого уравнения выразим х: 169=х²+у² х²=169-у² х=√(169-у²) Теперь подставим выражение √(169-у²) вместо х во второе уравнение: 225=х²+8х+16+у² 225=(√(169-у²))²+8(√(169-у²))+16+у² 225=169-у²+8√(169-у²)+16+у² 225-169-16=8√(169-у²) 40=8√(169-у²) 40:8=√(169-у²) 5=√(169-у²) - возведем обе части в квадрат. 25=169-у² у²=169-25 у²=144 у=√144 у=12 см - первый катет. Если у=12, то х=√(169-у²)=√(169-12²)=√(169-144)=√25=5 см - второй катет. Ответ: катеты равны 5 и 12 см.