Гипотенуза прямоугольного треугольника равна С. Найдите сумму квадратов медиан.

По свойствам прямоугольного треугольника, медиана, проведенная к гипотенузе равняется половине гипотенузы, следовательно: [latex]m_c=\frac{1}{2}c\\m^2_c=\frac{1}{4}c^2[/latex] Две других медианы вычислим по теореме Пифагора: [latex]m^2_b=a^2+\frac{1}{4}b^2\\ m^2_a=\frac{1}{4}a^2+b^2[/latex] Таким образом, сумма квадратов медиан будет равна: [latex]m^2_a+m^2_b+m^2_c=\frac{1}{4}a^2+b^2+a^2+\frac{1}{4}b^2+\frac{1}{4}c^2=\\=c^2+\frac{1}{4}*(a^2+b^2)+\frac{1}{4}c^2=c^2+\frac{1}{4}b^2+\frac{1}{4}b^2=1\frac{1}{2}c^2.[/latex]