Используя прямоугольный треугольник с углом 30 градусов, найдите тангенс 15 градусов.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами [latex]a,b[/latex]  Тогда гипотенуза по теореме Пифагора [latex]c=\sqrt{a^2+b^2}[/latex]   Проведем с острого угла биссектрису , получим два треугольника, один из которых прямоугольный , обозначим отрезки на которые поделила биссектриса  как [latex] x;y[/latex]    . По свойству биссектрисы    [latex]\frac{y}{x}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{b} [/latex]  По теореме синусов   [latex]\frac{a}{sin30}=\frac{b}{sin60}\\ b=a\sqrt{3}[/latex]   Из меньшего прямоугольного треугольника надо найти соотношение   [latex]tg15=\frac{x}{b}[/latex]  [latex]\frac{y}{x} = \frac{\sqrt{4a^2}}{a\sqrt{3}}\\ \frac{y}{x}=\frac{2}{\sqrt{3}}\\ y=\frac{2x}{\sqrt{3}}[/latex]  Из треугольник большего следует      [latex]a=x+\frac{2x}{\sqrt{3}}\\ a=\frac{\sqrt{3}x+2x}{\sqrt{3}}\\ [/latex]   [latex] x=\frac{\sqrt{3}a}{\sqrt{3}+2}\\ x=\frac{\sqrt{3}*\frac{b}{\sqrt{3}}}{\sqrt{3}+2}\\\\ tg15=\frac{x}{b}=2-\sqrt{3}[/latex]