Используя стандартные разложения по формуле Маклорена, вычислите предел: lim[latex] \lim_{x \to \ 0} (sin(x)/x)^(1/1-cos(x))[/latex]

Question

Используя стандартные разложения по формуле Маклорена, вычислите предел: lim[latex] \lim_{x \to \ 0} (sin(x)/x)^(1/1-cos(x))[/latex]

Гость

Ответ(ы) на вопрос:

Accepted Answer

sin(x)=x-x^3/6+O(x^5), 1-cos(x)=x^2/2+O(x^4), ln(1-x)=-x+O(x^2) при x->0. Поэтому предел равен lim_{x->0}(1-x^2/6+O(x^4))^(2/x^2+O(x^4))=lim_{x->0} exp((2/x^2)*ln(1-x^2/6))= lim_{x->0}exp((2/x^2)*(-x^2/6))=e^(-1/3).