Исследовать на экстремум функцию z=x^2+xy+y^2-6x-9y 

Найди частные производные по обоим переменным (отдельно). (в предыдущем ответе я написал как берётся частная производная) Приравняй обе к нулю - будет система линейных уравнений. Найди решение системы. Найди значение второго дифференциала в этих точках. Второй дифференциал запишется так: dZ = Zxx*dx*dx + 2Zxy*dx*dy + Zyy*dy*dy Это надо рассмотреть как квадратичную форму от dx и dy. Если она положительно определена - значит строгий минимум Если отрицательно - максимум Если не определена - нет эктремума Если полуопредела - надо исследовать дальше. Частные производные: Zx=2x+y-6=0 Zy=x+2y-9=0 2x+y-6=0 -2x-4y+18=0 -3y+12=0 => y=4 =>x=1 Zxx=2 Zxy=1 Zyy=2 (от х и у вообще не зависят. ну и ладно) Значит  d2Z=2(dx)^2+dxdy+2(dy)^2 =  (корень(2)dx+dy/(2*корень(2)))^2 + (2-1/8)*(dy)^2 Значит положительно определена.