Исследовать ряд на сходимость: ∑_(n=1)^∞▒(n+1) ×〖0.8〗^n

Если я правильно понял - это наш ряд: [latex]\Sigma_{n=1}^\infty(n+1)(0.8)^n[/latex]. Для проверки сходимости подойдёт радикальный признак Коши: --- Дано [latex]\Sigma_{n=1}^\infty a_n[/latex]. Находим [latex]\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=q[/latex]. Если [latex]q\ \textgreater \ 1[/latex] - ряд расходится если [latex]q\ \textless \ 1[/latex] - ряд сходится если [latex]q=1[/latex] - ответа нет (может быть оба варианта для разных рядов, потому ищут другой способ) --- Решаем: [latex]\Sigma_{n=1}^\infty(n+1)(0.8)^n\\ \\ \sqrt[n]{(n+1)(0.8)^n}=\sqrt[n]{n+1}\cdot\sqrt[n]{(0.8)^n}\\ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n+1}=1,\ \ \ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{(0.8)^n}=0.8\\ \Rightarrow \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{(n+1)(0.8)^n}=1\cdot0.8=0.8[/latex] Последнее равенство следует из арифметики пределов: если пределы существуют, то предел умножения равен умножению пределов. [latex]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{(n+1)(0.8)^n}=0.8\ \Rightarrow\ \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{(n+1)(0.8)^n}=0.8[/latex] Предел последовательности существует, значит он равен своему верхнему и нижнему пределу. Получили [latex]0.8\ \textless \ 1\ \Rightarrow\ \Sigma_{n=1}^\infty(n+1)(0.8)^n<\infty[/latex] Ряд сходится.