Итак нужно доказать 1+1/2²+1/3²+...+1/n² меньше 1.75 при любом значении n. P.s. Довольно сложное задание но на него я ставлю 95 баллов.

Возьмем уравнение 4-ой степени [latex] x^{4} + a_{1} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{3} x} +a_{4} =0[/latex] Допустим, что  [latex] b_{1}, b_{2} , b_{3}, b_{4} [/latex]являются корнями этого уравнения. Тогда: [latex](b_{1}-x)( b_{2}-x) (b_{3}-x) (b_{4}-x)=0[/latex] Но если корни не равны 0 тогда: [latex] \frac{(b_{1}-x)( b_{2}-x) (b_{3}-x) (b_{4}-x)}{ b_{1} b_{2} b_{3} b_{4} } =(1- \frac{x}{ b_{1} } )( 1- \frac{x}{ b_{2} }) (1- \frac{x}{ b_{3} }) (1- \frac{x}{ b_{4} })=0[/latex] Далее возьмем некоторый полином бесконечной степени: [latex]sin(x)=x- \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} -...[/latex] Теперь бесконечный полином:  [latex] \frac{sin(x)}{x} =(1- \frac{x}{ \pi } )( 1+\frac{x}{ \pi }) (1- \frac{x}{ 2 \pi }) (1+ \frac{x}{ 2 \pi })...[/latex] Преобразуем данное равенство: [latex] \frac{sin(x)}{x} =(1- \frac{x^2}{ \pi ^2} )( 1-\frac{x^2}{ 4\pi^2 })...[/latex] Отсюда мы получаем, что: [latex](-1- \frac{1}{4} - \frac{1}{9} - ... )( \frac{1}{ \pi ^2} ) x^{2} [/latex] Поскольку бесконечное произведение равно бесконечному ряду для [latex] \frac{sin(x)}{x} [/latex], коэффициент при [latex] x^{2} [/latex] должен быть равен [latex]- \frac{1}{3!} = -\frac{1}{6} [/latex]. Приравняем коэффициенты и умножим полученное равенство на [latex] -\pi ^2[/latex], из этого получим [latex]1+ \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + ...= \frac{ \pi ^2}{6} =1.644..[/latex] Следуя из этого мы получаем что [latex]1.644\ \textless \ 1.75[/latex]

1) Базис индукции: n=1 [latex]1 \ \textless \ 1.75[/latex] - выполняется 2) Предположим что и при n=k оно тоже верно 1 + 1/2² + 1/3² + ... + 1/k² < 1.75 3) Индуционный переход  n=k+1; 1 + 1/2² + 1/3² + ... + 1/k² + 1/(k+1)² < 1.75 + 1/(k+1)² = (7(k+1)² + 4)/(k+1)² = (7k² + 14k + 1)/(k+1)²