Из середин сторон правильного треугольника площади 1 опущены перпендикуляры на стороны ( см. рисунок ). Чему равна площадь закрашенного на рисунке шестиугольника?

Рассмотри одну незакрашенную область. Разделим четырехугольник АВОС ,биссектрисой АО на два треугольника АВО и АСО. Общая площадь незакрашенной части будет равна шести площадям треугольника АОС. Пусть сторона треугольника равна а. Тогда, так как высоты проводили из середин сторон, АВ=АС=а/2. Так как углы правильного треугольника равны 60°, то углы АВМ и АСК равны по 30°. Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы, следовательно, АК=АМ=а/4. Найдем высоту ОМ треугольника АОС: [latex]\mathrm{tg}OAM= \frac{OM}{AM} \\\ OM=AM\cdot \mathrm{tg}OAM \\\ OM= \frac{a}{4} \cdot \mathrm{tg}30^\circ= \frac{a \sqrt{3} }{12} [/latex] Найдем площадь треугольника АОС: [latex]S_{AOC}= \frac{1}{2} \cdotOM\cdot AC \\\ S_{AOC}= \frac{1}{2} \cdot \frac{a \sqrt{3} }{12}\cdot \frac{a }{2}=\frac{a ^2\sqrt{3} }{48}[/latex] Найдем площадь незакрашенной части: [latex]S_n=6S_{AOC} \\\ S_n=6\cdot\frac{a ^2\sqrt{3} }{48}=\frac{a ^2\sqrt{3} }{8}[/latex] Так как площадь всего треугольника известна, то выразим ее через а: [latex]S=\frac{a ^2\sqrt{3} }{4}=1[/latex] Видно, что площадь незакрашенной части составляет половину площади всего треугольника, то есть она равна 1/2. Тогда площадь закрашенной части равна 1-1/2=1/2. Ответ: 1/2