Известно, что числа х^2 + у^2, х^3 + у^3, х^4 + у^4 являются рациональными. Обязательно ли,что х+у тоже является рациональным числом?

Да, обязательно. Обозначим a=х²+у², b=х³+у³, c=х⁴+у⁴. Тогда 2x²y²=(x²+y²)²-(x⁴+y⁴)=a²-c, т.е. x²y² - рационально. ac-b²=(х²+у²)(x⁴+y⁴)-(х³+у³)²=x⁶+y²x⁴+x⁴y²+y⁶-x⁶-у⁶-2x³y³=y²x⁴+x⁴y²-2x³y³= =x²y²(x²-2xy+y²)=x²y²(а-2xy),  откуда ху - рационально. Но x+y=(х³+у³)/(x²+y²-xy)=b/(a-xy), т.е. оно тоже рационально.