Известно, что около четырехугольника ABCD можно описать окружности и что продолжение стороны AB и CD четырехугольника пересекаються в точке M. Докажите, что треугольник MBC и MDA подобны.

Чтобы четырехугольник можно было вписать в окружность, должно выполняться условие: ∠DAB+∠BCD=∠ABC+∠CDA=180° (по третьему свойству описанной окружности ). ∠ADM является смежным по отношению к ∠CDA, следовательно: 180°=∠ADM+∠CDA 180°=∠ABC+∠CDA (это мы установили ранее). Получается, что ∠ADM=∠ABC ∠DAM является смежным по отношению к ∠DAB, следовательно: 180°=∠DAM+∠DAB 180°=∠BCD+∠DAB (это мы установили ранее). Получается, что ∠DAM=∠BCD ∠M - общий для треугольников MBC и MDA. Тогда, по первому признаку подобия, данные треугольники подобны.