Известно, что sin t * cos t = -0.5 (произведение синуса и косинуса равно -0,5) Найти sin^8 t + cos ^8 t (синус в 8-ой степени плюс косинус в 8-ой степени)

[latex]sint*cost=-\frac{1}2\\sin^8t+cos^8t=?\,\,(1)[/latex] Преобразуем (1): [latex]sin^8t+cos^8t=sin^8t+2sin^4t*cos^4t+cos^8t-\\-2sin^4t*cos^4t=(sin^4t+cos^4t)^2-2sin^4t*cos^4t=?\,\, (2)[/latex] Теперь воспользуемся основным тригонометрическим тождеством. Сразу возведем его в квадрат. [latex]sin^2x+cos^2x=1\\sin^4x+2sin^2x*cos^2x+cos^4x=1\\sin^4x+cos^4x=1-2sin^2x*cos^2x\,\,(3)[/latex] Теперь из начальной формулы найдем [latex]2sin^2xcos^2x[/latex] и [latex]2sin^4x*cos^4x[/latex] [latex]sinx*cosx=-\frac{1}2\\sin^2x*cos^2x=\frac{1}4\\2sin^2x*cos^2x=\frac{1}2\\\\sin^4x*cos^4x=\frac{1}{16}\\2sin^4x*cos^4x=\frac{1}8[/latex] Подставим полученное значение в формулу (3):  [latex]sin^4x+cos^4x=1-2sin^2x*cos^2x=1-\frac{1}2=\frac{1}2[/latex] Теперь все известно, подставим посчитанные значения в формулу (2): [latex](sin^4t+cos^4t)^2-2sin^4t*cos^4t=(\frac{1}2)^2-\frac{1}8=\frac{1}4-\frac{1}8=\\=\frac{1}8[/latex] И того: [latex]sin^8t + cos^8t=\frac{1}8[/latex]