Какие признаки у параллелограмма? Нужно доказательство

1 ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛОГРАММА:  Если в четырехугольнике две стороны  равны и параллельны, то этот четырехугольник будет являться параллелограммом.  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:  Рассмотрим четырехугольник ABCD. Пусть в нем стороны AB и CD параллельны. И пусть AB=CD. Проведем в нем диагональ BD. Она разделит данный четырехугольник на два равных треугольника: ABD и  CBD. Эти треугольники равны между собой по двум сторонам и углу между ними ( BD-общая сторона, AB=CD по условию, угол1=углу2 как накрест лежащие углы при секущей BD параллельных прямых AB и CD), а следовательно угол3=углу4. А эти углы будут являться накрест лежащими при пересечении прямых BC и AD секущей BD. Из этого следует, что BC и AD параллельны между собой. Имеем, что в четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, и, значит, четырехугольник ABCD является параллелограммом.  2 ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛОГРАММА:  Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник будет параллелограммом.  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:  Рассмотрим четырехугольник ABCD.Проведем в нем диагональ BD. Она разделит данный четырехугольник на два равных треугольника ABD и CBD. Эти два треугольника буду равны между собой по трем сторонам ( BD- общая сторона, AB=CD и BC=AD по условию). Из этого можно сделать вывод, что угол1=углу2. Отсюда следует, что AB параллельна CD. А так же  AB=CD и AB параллельна CD,то по первому признаку параллелограмма, четырехугольник ABCD будет являться параллелограмм.  3 ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛОГРАММА: Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точки пересечения делятся пополам,то этот четырехугольник будет являться параллелограммом.  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:  Рассмотрим четырехугольник ABCD.Проведем в нем две диагонали AC и  BD, которые будут пересекаться в точке О и делятся этой точке пополам. Треугольник AOB COD будут равны между собой, по первому признаку равенства треугольников. ( AO=OC, BO=OD  по условии, угол AOB=угол COD как вертикальные углы). Следовательно, AB= CD и угол1= угол2. Из равенства 1 и 2 имеем, что AB параллельна CD.Тогда имеем, что в четырехугольнике ABCD стороны AB равны CD и параллельны, и по первому признаку параллелограмма четырехугольник ABCD будет являться параллелограммом