[latex] \int\limits^\infty_0 {\frac{5sinx}{x} \, dx [/latex]

[latex]A=\int \limits _0^{\infty }\frac{sinx}{x}dx[/latex] Рассмотрим функцию  [latex]I(t)=\int \limits _0^{\infty }e^{-tx}\cdot \frac{sinx}{x}dx\; ,\; \; t \geq 0[/latex]  . Тогда  [latex]A=I(0)[/latex]  . Дифференцируя под знаком интеграла по переменной t получим : [latex]I'(t)=-\int \limits _0^{\infty }e^{-tx}\cdot sinx\, dx[/latex]  Этот интеграл легко вычисляется при t>0 по частям: [latex]I'(t)=\frac{1}{t}\cdot \int \limits _0^{\infty }sinx\cdot d(e^{-tx})=[\int u\, dv=uv-\int v\, du\; ]=\\\\=\frac{1}{t}(sinx\cdot e^{-tx}|_0^{\infty }-\int \limits _0^{\infty }e^{-tx}\cdot cosx\, dx)=\\\\=\frac{1}{t^2}(cosx\cdot e^{-tx}|_0^{\infty }+\int \limits _0^{\infty }e^{-tx}\cdot sinx\, dx)=\frac{1}{t^2}\Big (-1-I'(t)\Big )\\\\I'(t)=\frac{1}{t^2}\Big (-1-I'(t)\Big )\; \; \to \; \; I'(t)=-\frac{1}{1+t^2}[/latex] Интегрируя полученное соотношение находим [latex]I(t)=-\int \frac{dt}{1+t^2}=-arctgt+C[/latex] Постоянную С находим из условия   [latex]I(+\infty )=0[/latex]  . [latex]\\0=-\frac{\pi}{2}+C\; \; \to \; \; \; C=\frac{\pi}{2}\\\\I(t)=\frac{\pi}{2}-arctgt[/latex] Функция [latex]I(t)[/latex]  непрерывна, поэтому искомый интеграл может быть найден с помощью предельного перехода: [latex] \int\limits^{\infty }_0 {\frac{sinx}{x}dx} =I(0)=\lim\limits _{t\to 0}I(t)=\lim\limits _{t\to 0}(\frac{\pi}{2}-arctgt)=\frac{\pi}{2}\\\\\\ \int\limits^{\infty }_0 {\frac{5sinx}{x}} \, dx =\frac{5\pi}{2}[/latex]