Матрицы 30баллов 7 вариант обратную матрице А (2 задание)

А[latex] = \left[\begin{array}{ccc}5&-1&3\\4&3&2\\2&-3&1\end{array}\right] [/latex] Найдём обратную матрице А, т.е. [latex] A^{-2} [/latex]/ Для этого, справа допишем к матрице А, единичную матрицу: А[latex]= \left[\begin{array}{ccc}5&-1&3\\4&3&2\\2&-3&1\end{array}\right \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right] [/latex] Первую строку матрицы делим на 5: A[latex]= \left[\begin{array}{ccc}1&-0,2&0,6\\4&3&2\\2&-3&1\end{array}\right \left[\begin{array}{ccc}0,2&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right] [/latex] 1 строку умножаем на 4 и от 2 строки отнимаем 1, также 1 строку умножаем на 2, и от 3 строки отнимаем 1. Получим: A[latex]= \left[\begin{array}{ccc}1&-0,2&0,6\\0&3,8&-0,4\\0&-2,6&-0,2\end{array}\right \left[\begin{array}{ccc}0,2&0&0\\-0,8&1&0\\-0,4&0&1\end{array}\right] [/latex] 2 строку делим на 3,8: A[latex]= \left[\begin{array}{ccc}1&-0,2&0,6\\1&- \frac{2}{19} &-0,4\\0&-2,6&-0,2\end{array}\right \left[\begin{array}{ccc}0,2&0&0\\- \frac{4}{19} &\frac{5}{19} &0\\-0,4&0&1\end{array}\right] [/latex] 2 строку умножаем на 2, и добавляем её к 1 строке, также 2 строку умножаем на 2,6 и добавляем её к 3 строке: A[latex]= \left[\begin{array}{ccc}1&0& \frac{11}{19} \\0&1&- \frac{2}{19} \\0&0&- \frac{9}{19} \end{array}\right \left[\begin{array}{ccc} \frac{3}{19} & \frac{1}{19} &0\\- \frac{4}{19} & \frac{5}{19} &0\\ - \frac{18}{19} &\frac{13}{9}&1 \end{array}\right] [/latex] Делим 3 строку на -[latex] \frac{9}{19} [/latex]: A[latex]= \left[\begin{array}{ccc}1&0& \frac{11}{19} \\0&1&- \frac{2}{19} \\0&0& 1 \end{array}\right \left[\begin{array}{ccc} \frac{3}{19} & \frac{1}{19} &0\\- \frac{4}{19} & \frac{5}{19} &0\\ 2 &-\frac{13}{9}&- \frac{19}{9} \end{array}\right] [/latex] 3 строку умножаем на 3, и от 1 троки отнимаем 3, также 3 строку умножаем на [latex] \frac{2}{19} [/latex], и добавляем к ней 2 строку: A[latex]= \left[\begin{array}{ccc}1&0& 0\\0&1&0 \\0&0& 1 \end{array}\right \left[\begin{array}{ccc} -1 & \frac{8}{9} & \frac{11}{9} \\0 & \frac{1}{9} &- \frac{2}{9} \\ 2 &-\frac{13}{9}&- \frac{19}{9} \end{array}\right] [/latex] Получаем [latex] A^{-1} [/latex] Ответ: [latex] A^{-1} [/latex]=[latex] \left[\begin{array}{ccc}-1& \frac{8}{9} & \frac{11}{9} \\0& \frac{1}{9} &- \frac{2}{9} \\2&- \frac{13}{9} &- \frac{19}{9} \end{array}\right] [/latex]