Множество чисел 1, 2,3, ..., 1974,1975 разбиты на две групи.До первой группе отнесли все числа с нечетным суммой цифр, а ко второй-с парною.Що больше: сумма всех чисел первой группы или сумма всех чисел второй группы

Пусть [latex]A=\left \{ 0,1,2,3...1974,1975 \right \}[/latex] (можно считать, что это данная множество чисел, потому включив в нее 0, не изменится ответ к вопросу, [latex]B =\left \{ 0,1,2,3,...,1974,1975,1976,...,1998,1999 \right \}[/latex] Докажем, что когда В разбить на две группы так, как это требует условие задачи, то сумма всех чисел одной группы будет равна сумме всех чисел второй.  Все числа с множеств В имеют вид [latex]\overline{pqab}[/latex], где р - равно нулю или 1, а цифры q, a ,b могут быть произвольными. Разобьем множество В на две подмножества Н и K, включив до Н все числа из В с нечетным суммой цифр, а в K - с четным.  Обозанчим через [latex]\sum_H[/latex] и [latex]\sum_K[/latex] суммы чисел соотвественно с Н и К. Докажем, что [latex]\sum_H=\sum_K[/latex] Для этого, подадим [latex]\sum_H[/latex] как сумму [latex]\sum_H'+\sum_H''[/latex] где, [latex]\sum_H'[/latex] - сумма чисел [latex]\overline{pqab}[/latex], в которой (a+b) нечетное число( поэтому (p+q) - четное число), а [latex]\sum_H''-[/latex] сумма чисел [latex]\overline{pqab}[/latex], в которой (a+b) - четное число ( отсюда (p+q) - нечетное число). Аналогично  сделаем это суммой [latex]\sum_K[/latex], положив [latex]\sum_K=\sum_K'+\sum_K''[/latex], где [latex]\sum_K'(\sum_K'')-[/latex] сумма чисел [latex]\overline{pqab}[/latex], в которых и (a+b) и (p+q) - нечетные( соотвественно, и (a+b), и (p+q) - четные числа). Тогда [latex]\sum_H-\sum_K=(\sum_H'-\sum_K')+(\sum''_H-\sum_K'')[/latex] Где виражение [latex]\sum'_H-\sum'_K[/latex] содержит только те числа [latex]\overline{pqab}[/latex], в которых (a+b) - нечетное, а выражение  [latex]\sum''_H-\sum''_K[/latex] -только те числа [latex]\overline{pqab}[/latex], в которых (a+b) - четное. ПОкажем что [latex]\sum'_H-\sum_K'=0[/latex]. Зафиксируем цифры a и b и рассмотрим в суммах [latex]\sum'_H[/latex] и [latex]\sum_K'[/latex] слагаемых, запись которых заканчивается этимы цифрами. Они имееют соответсвенно вид [latex]\overline{p_1q_1ab}[/latex] где [latex]p_1+q_1-[/latex] четное, и [latex]\overline{p_2q_2ab}[/latex], где [latex]q_2+p_2-[/latex] нечетное,причем таких слагаемых в суммах [latex]\sum'_H[/latex] и [latex]\sum'_K[/latex] содержится поровну.  Для них имеем [latex]\overline{p_1q_1ab}-\overline{p_2q_2ab}=100(p_1q_1-p_2q_2)[/latex].  Обозначим через [latex]M_1[/latex] (соотвественно через [latex]M_2[/latex]) сумму всех чисел [latex]\overline{pq}[/latex], где  [latex]p \in \left \{ 0;1 \right \},q\in \left \{ 0;1;...;9 \right \}[/latex] и (p+q) - четное(соотвественно нечетное) Поскольку[latex]M_1=M_2[/latex], то сумма всех разностей равен  [latex]100(M_1-M_2)[/latex]. Это правильно  для произвольных a и b,  Итак, [latex]\sum_H'-\sum_K'=0[/latex] Аналогично, получим, что [latex]\sum_H''-\sum_K''=0[/latex]. Теперь вернемся к множествам А. Пусть [latex]S_H[/latex] и [latex]S_K[/latex] - суммы чисел, которые пренадлежат к А, и имеют соотвественно четную и нечетную суммы цифр. Поскольку, [latex]B=A\cup \left \{ 1976,...,1999 \right \},[/latex] то имеем [latex]\sum_K=S_K+1997+1979+1980+1982+1894+1986+1988+1991+ \\ +1993+1995+1997+199,[/latex] [latex]\sum_H=S_H+1976+1978+1981+1983+1985+1987+1989+ \\ +1989+1990+1992+1994+1996+1998[/latex] Отсюда, [latex]\sum_K-\sum_H=S_K-S_H+2[/latex] и тогда [latex]\sum_K+2=S_H[/latex], потому что [latex]\sum_K=\sum_H[/latex] Ответ: 2.