Можно ли нарисовать на плоскости 19 прямых , так чтобы каждая из них пересекалась ровно с половиной из остальных прямых?

Это невозможно, покажем почему. По условию возьмем одну из 19ти прямых, мы знаем что она пересекает 9 прямых (половину от оставшихся 18ти), соответственно, еще 9 прямых являются ей параллельными, изобразив это на рисунке, мы получим 10 параллельных прямых, попытка добавить любую другую не параллельную  им прямую приводит нас к тому, что добавленная прямая пересечет все 10 прямых, что противоречит условию пересечения только 9ти прямых.