На боковых ребрах АА1, ВВ1 и СС1 правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 (АА1 || ВВ1 || СС1) расположены точки К, L, и М соответственно. Известно, что угол между прямыми KL и АВ равен pi/4 , а угол между прямыми КМ и АС - pi/3...

а) Постройте плоскость, проходящую через точки K, L и М - для этого надо просто соединить эти точки. б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания АВС. Продлим отрезки КМ и KL до пересечения с плоскостью АВС. Для этого достаточно продлить стороны АС и АВ. Точки пресечения - это Д и Е. Примем длину отрезка АК за 1. Из треугольника АКД отрезок АД = 1 / tg 60 = 1 / √3. Аналогично АЕ = 1 / tg 45 = = 1 / 1 = 1. Угол ЕАД равен 60 градусов (по заданию). По теореме косинусов [latex]ED= \sqrt{1^2+( \frac{1}{ \sqrt{3}} )^2-2*1*( \frac{1}{ \sqrt{3} } )*cos60}=[/latex] [latex]= \sqrt{1+ \frac{1}{3} -2*1* \frac{1}{ \sqrt{3} }* \frac{1}{2}} = \sqrt{ \frac{4- \sqrt{3} }{3} } =0.869472866. [/latex] Находим гипотенузы в треугольниках АКД и АКЕ. [latex]KD= \sqrt{AK^2+AD^2} = \sqrt{1+ \frac{1}{3} } = \frac{2}{ \sqrt{3} } .[/latex] КЕ = √(1²+1²) = √2 (острые углы по 45 градусов). Теперь определены 3 стороны в треугольнике КЕД, угол наклона которого к плоскости АВС надо найти. Для этого двугранный угол между основой и треугольником КДЕ надо рассечь плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения ЕД. Находим высоты в треугольниках АЕД и КЕД по формуле: [latex]h _{a} = \frac{2 \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} }{a} .[/latex] АЕ         ДЕ                 АД                  p                      2p               S = 1    0.8694729    0.5773503    1.2234116    2.446823135     0.25  haе              hде                 hад  0.5          0.57506            0.86603         КЕ                ДЕ              КД              p                2p               S = 1.4142136   0.869473   1.154701   1.719194    3.43839    0.501492        hке                hде                     hкд 0.7092           1.15356              0.86861. Отношение высот hде и  hде  - это косинус искомого угла: cos α = 0.57506 / 1.15356 =  0.498510913. Ответ: α = 1.048916149 радиан =  60.09846842°.