На координатной плоскости заданы две параболы с уравнениями y=x^2 и y=x^2-4x+1. Постройте на первой параболе точку M, на другой точку N так, чтобы отрезок MN был параллелен оси абцисс, а его длина равнялась 3.

y=x^2 y=x^2-4x+1   Точка М принадлежит параболе y=x^2, значит M(a;a^2) Точка N принадлежит параболе y=x^2-4x+1, значит N(b;b^2-4b+1)   Т.к. отрезок MN параллелен оси Ох, то ординаты точек M и N должны быть равны. a^2=b^2-4b+1   По условию, расстояние MN=3, значит b-a=3                                                                  b=a+3 Подставим это значение b в наше уравнение:   a^2=(a+3)^2-4(a+3)+1 a^2=a^2+6a+9-4a-12+1 2a-2=0 2a=2 a=1 b=a+3=1+3=4   M(1;1), N(4;1)   Теперь осталось построить в одной координатной плоскости две параболы y=x^2 и y=x^2-4x+1, на первой отметить точку M, а на второй точку N и провести отрезок MN.

Раз отрезок д.б. параллелен оси абсцисс, то координаты Y точек M и N должны быть одинаковыми: [latex]x_{1}^2=x_{2}^2-4x_{2}+1[/latex]   [latex]x_{2}^2-4x_{2}+1-x_{1}^2=0[/latex]   Решим относительно [latex]x_{2}[/latex]   [latex]D=16-4*(1-x_{1}^2)=12-4x_{1}^2=2^2(3-x_{1}^2)[/latex]   Для того, что бы такие точки существовали, нужно [latex]D\geq0[/latex]   [latex]3-x_{1}^2\geq0[/latex]   [latex]x_{1}^2\leq3[/latex]   [latex]|x_{1}|\leq\sqrt{3}[/latex]   С другой стороны, т.к. длина отрезка MN д.б. равна 3, то:   [latex](x_{1}-x_{2})^2+(y_{1}-y_{2})^2=3^2[/latex]   Координаты [latex]y_{1}[/latex] и [latex]y_{2}[/latex], как мы уже выяснили равны, т.о.:   [latex](x_{1}-x_{2})^2=9[/latex]   [latex]|x_{1}-x_{2}|=3[/latex]   [latex]x_{1}=x_{2}\pm3[/latex]   Подставим это в имеющееся уравнение [latex]x_{2}^2-4x_{2}+1-x_{1}^2=0[/latex]:   [latex]x_{2}^2-4x_{2}+1-(x_{2}\pm3)^2=0[/latex]   [latex]x_{2}^2-4x_{2}+1-x_{2}^2\pm6x_{2}-9=0[/latex]   [latex]2x_{2}-8=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -10x_{2}-8=0[/latex]   [latex]x_{2}=4 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_{2}=-0.8[/latex]    Следовательно:   [latex]x_{1}=4\pm3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_{1}=-0.8\pm3[/latex]   [latex]x_{1.1}=7 \ \ \ \ x_{1.2}=1 \ \ \ \ x_{1.3}=2.2 \ \ \ \ x_{1.4}=-3.8[/latex]     Среди них только [latex]x_{1.2}=1[/latex] удовлетворяет условию [latex]|x_{1}|\leq\sqrt{3}[/latex]     Т.о. координаты точки M(1;1) и точки N(4;1)     Рисунок: http://yotx.ru/default.aspx?clr0=000000&exp0=x%5e2&clr1=666666&exp1=x%5e2-4x%2b1&clr2=ff0000&pv2=on&pt2=%281%3b1%29%284%3b1%29&mix=-10&max=10&asx=on&u=mm&nx=x&aiy=on&asy=on&ny=y&iw=600&ih=400&ict=png&aa=on