На основании AD трапеции ABCD отмечена точка F. Оказалось, что AB = BF и FC=CD. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABF,FCD,BFC равны 3, 8 и 6 соответственно. Найдите отношение AF:FD.

Введем обозначения: H - высота трапеции и всех трех треугольников; остальные - по рисунку. Площади этих треугольников запишем двумя способами, как половина произведения основания на высоту и как произведение полупериметра на радиус вписанной окружности: S (ABF) = 1/2 2a H = aH = 3(a+c) S (FCD) = 1/2 2b H = bH = 8(b+d) S (BFC) = 1/2 (a+b)H = 1/2(a+b+c+d)*6 aH = 3a + 3c                                (1)                  это система bH = 8b + 8d                                (2) 1/2(a+b)H = 3a + 3b + 3c + 3d  (3)  два первых уравнения сложим: (a+b)H = 3a + 8b + 3c + 8d и вычтем из полученного третье: 1/2 (a+b) = 5b + 5d b+d = (a+b)H/10 а из второго: b+d = bH/8, приравняем: (a+b)H/10 = bH/8 (a+b)/5 = b/4 4(a+b) = 5b 4a = b, т.е. a/b = 1/4, значит и AF:FD = 1/4  Проще не придумалось:)