На плоскости существует точка равноудаленная от всех сторон трапеции.найти радиус окружности  , описанной около трапеции, если её средняя линия равна 4, а тупой угол трапеции равен 120 градусов

на плоскости существует точка равноудаленная от всех сторон, значит она еще описанная а так как если в четырехугольник можно вписать окружность  то сумма противоположенных стороны равна сумме боковых , так как по условию следует что трапеция равнобедренная так как она вписана в окружность!  пусть а боковые стороны а x и у основания  , тогда  средняя линия равна [latex]x+y=8[/latex],  значит   [latex]2a=x+y\\ 2a=8\\ a=4\\ [/latex] боковые стороны равны 4, теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BEC. Так  по условию дано что оно равна 120 гр, то значит угол EBC равна 120-90=30гр Так как  EC[latex]\frac{x-y}{2}[/latex] [latex]x+y=8[/latex] Значит  [latex]BC=[/latex][latex] \frac{EC}{sin30}[/latex] решая систему получим что нижнее основание равно 6 ,верхнее 2  Теперь  чтобы найти Радиус Описанной окружности можно  рассмотреть    треугольник DBC; По формуле  [latex]R=\frac{d*x*a}{p(p-d)(p-x)(p-a)}[/latex] Найдем d, по теореме косинусов  [latex]d=\sqrt{4^2+6^2-2*4*6*cos60}=\sqrt{28}[/latex] [latex]p=\frac{4+6+2\sqrt{7}}{2}=5+\sqrt{7}[/latex] [latex]R=\frac{48\sqrt{7}}{\sqrt{(5+\sqrt{7})(5+\sqrt{7}-4)(5+\sqrt{7}-6)(5+\sqrt{7}-2\sqrt{7})}}=\\ \frac{48\sqrt{7}}{\sqrt{(5+\sqrt{7})(1+\sqrt{7})(\sqrt{7}-1)(5-\sqrt{7})}} = \frac{48\sqrt{7}}{\sqrt{18*6}}=\frac{8\sqrt{7}}{\sqrt{3}}[/latex]