На рисунке точка D - середина стороны BC треугольника ABC. DP перпендикулярно AB, DF перпендикулярно AC, DP=DF. Докажите что треугольник ABC равнобедренный

Рассмотрим треугольники РВД и ДСФ: они равны по трем сторонам. Т.к ДР перпендикулярно АВ, и ДФ перпендикулярно АС, то углы ДРА и ДФА равны 90 градусам и РД = ДФ, следовательно АРДФ квадрат.  Т.к. ВР = СФ и РА = АФ, то АВ = ВР + РА и АС = АФ + ФС из этих равенств следует что АВ = АС.  Ч.Т.Д.