На средней линии трапеции ABCD с основанием AD и BC выбрали произвольную точку К. Докажите, что сумма площадей треугольников ВКС и АКD равна половине площади трапеции.

Проведем высоту трапеции Н через точку К. Она точкой К делится пополам, так как эта точка лежит на средней линии трапеции. Таким образом, высоты обоих указанных треугольников равны Н/2. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Запишем это для каждого треугольника. S(BKC) = 1/2*BC*H/2 S(AKD) = 1/2*AD*H/2 Площадь же трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту. Запишем и это: S(ABCD) = 1/2*(BC + AD)*H Раскроем скобки: S(ABCD) = 1/2*BC*H + 1/2*AD*H = 2*S(BKC) + 2*S(AKD) = 2*(S(BKC) + S(AKD)). Таким образом:  S(BKC) + S(AKD) = S(ABCD):2. Что и требовалось доказать.