На трёх разных координатных осях выбрали точки А, В и С. Оказалось, что площади треугольников ОАВ, ОАС и ОВС равны соответственно 10, 20 и 20. Найдите площадь треугольника АВС.  

эти треугольники ---прямоугольные, их площади можно вычислить по формуле S = половине произведения катетов S(OAB) = OA*OB/2 = 10 => OA*OB = 20 аналогично рассуждая, получим систему: OA*OB = 20 OB*OC = 40 OC*OA = 40 ------------------- OB = V20 OA = V20 OC = 2V20 из этих же прямоугольных треугольников по т.Пифагора можно найти стороны треугольника АВС ---это гипотенузы соответствующих треугольников... AC^2 = OA^2 + OC^2 = 20+80 = 100 AC = 10 аналогично рассуждая, получим: ВС = 10 АВ = 2V10 по формуле Герона S(ADC) = V((10+V10)*V10*V10*(10-V10)) = V(10*(100-10)) =  V900 = 30