Напишите уравнение окружности, проходящей через три данные точки: а) А ( 1; -4), В (4; 5), С (3; -2); б) А (3; -7), В (8; -2), С (6; 2).

Уравнение окружности имеет вид: [latex](x-a)^2+(y-b)^2=r^2[/latex], где (a; b) - центр окружности, r - ее радиус а) Подставляем координаты точек в уравнение: [latex]\begin{cases} (1-a)^2+(-4-b)^2=r^2 \\ (4-a)^2+(5-b)^2=r^2 \\ (3-a)^2+(-2-b)^2=r^2 \right \end{cases}[/latex] Правые части равны, значит равны и левые части. Приравниваем левые части первого и второго уравнений: [latex](1-a)^2+(-4-b)^2=(4-a)^2+(5-b)^2 \\\ (1-a)^2+(4+b)^2=(4-a)^2+(5-b)^2 \\\ 1-2a+a^2+16+8b+b^2=16-8a+a^2+25-10b+b^2 \\\ 1-2a+8b=-8a+25-10b \\\ 6a+18b-24=0 \\\ a+3b-4=0 \\\ \Rightarrow a=4-3b[/latex] Приравниваем левые части второго и третьего уравнений: [latex](4-a)^2+(5-b)^2=(3-a)^2+(-2-b)^2 \\\ (4-a)^2+(5-b)^2=(3-a)^2+(2+b)^2 \\\ 16-8a+a^2+25-10b+b^2=9-6a+a^2+4+4b+b^2 \\\ 16-8a+25-10b=9-6a+4+4b \\\ 2a+14b-28=0 \\\ a+7b-14=0[/latex] Подставляем вместо а полученное ранее выражение: [latex]4-3b+7b-14=0 \\\ 4b=10 \\\ \Rightarrow b=2.5 \\\ \Rightarrow a=4-3\cdot2.5=-3.5 \\\ \Rightarrow r^2=(4-(-3.5))^2+(5-2.5)^2=56.25+6.25=62.5[/latex] Искомое уравнение окружности: [latex](x+3.5)^2+(y-2.5)^2=62.5[/latex] б) Подставляем координаты точек в уравнение: [latex]\begin{cases} (3-a)^2+(-7-b)^2=r^2 \\ (8-a)^2+(-2-b)^2=r^2 \\ (6-a)^2+(2-b)^2=r^2 \right \end{cases}[/latex] Приравниваем левые части первого и второго уравнений: [latex](3-a)^2+(-7-b)^2= (8-a)^2+(-2-b)^2 \\\ (3-a)^2+(7+b)^2= (8-a)^2+(2+b)^2 \\\ 9-6a+a^2+49+14b+b^2=64-16a+a^2+4+4b+b^2 \\\ 9-6a+49+14b=64-16a+4+4b \\\ 10a+10b-10=0 \\\ a+b-1=0 \\\ \Rightarrow a=1-b[/latex] Приравниваем левые части второго и третьего уравнений: [latex] (8-a)^2+(-2-b)^2=(6-a)^2+(2-b)^2 \\\ (8-a)^2+(2+b)^2=(6-a)^2+(2-b)^2 \\\ 64-16a+a^2+4+4b+b^2=36-12a+a^2+4-4b+b^2 \\\ 64-16a+4b=36-12a-4b \\\ 4a-8b-28=0 \\\ a-2b-7=0[/latex] Подставляем вместо а полученное ранее выражение: [latex]1-b-2b-7=0 \\\ 3b=-6 \\\ \Rightarrow b=-2 \\\ \Rightarrow a=1-(-2)=3 \\\ \Rightarrow r^2=(6-3)^2+(2-(-2))^2=9+16=25[/latex] Искомое уравнение окружности: [latex](x-3)^2+(y+2)^2=25[/latex]