Найдите наименьшее натуральное число, имеющее ровно 55 натуральных делителей, считая единицу и само число.

По основной теореме арифметики любое натуральное число n можно разложить на простые множители, а именно, его можно записать в виде: [latex]n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdot\ldots\cdot p_k^{a_k}[/latex], причем это представление единственное с точностью до перестановки множителей (здесь [latex]p_i[/latex] - различные простые и [latex]a_i\ge1[/latex]). Любой положительный делитель d числа n (включая 1 и само n) имеет такой же вид [latex]d=p_1^{b_1}p_2^{b_2}\cdot\ldots\cdot p_k^{b_k}[/latex], только [latex]0\le b_i\le a_i[/latex].  Поскольку каждое [latex]b_i[/latex] может принимать [latex]a_i+1[/latex] значение, то количество делителей числа n равно [latex](a_1+1)(a_2+1)\cdot\ldots\cdot(a_k+1)[/latex]. В искомом числе это произведение равно [latex]55=5\cdot11[/latex], т.е. либо число состоит из одного простого, и тогда [latex]a_1+1=55[/latex], либо число состоит из двух простых, и тогда  [latex]a_1+1=5, \ \ a_2+1=11[/latex]. Чтобы число было наименьшим, простые, входящие в его разложение, должны быть минимально возможными, т.е. равны 2 и 3, причем у большего простого должна быть меньшая степень. Таким образом, возможны два варианта для  искомого числа: [latex]n=2^{54}[/latex] или [latex]n=2^{10}3^4[/latex]. Поскольку второе число, очевидно, меньше первого, то ответ  [latex]2^{10}3^4=82944[/latex].